प्रश्नावली 3.4
Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7
विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है | (ATP Education Help)
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1
हल :(iii) 3x - 5y - 4 = 0
या 3x – 5y = 4 ......... (i)
9x = 2y + 7
या 9x - 2y + 7
अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = - 3
Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :
(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)
अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?
हल : माना नूरी की आयु x वर्ष
और सोनू की आयु y वर्ष
स्थिति I
पाँच वर्ष पूर्व,
नूरी की आयु = x - 5 वर्ष
सोनू की आयु = y - 5 वर्ष
प्रश्नानुसार,
x - 5 = 5(y - 5)
या x - 5 = 5y - 25
या x - 5y = 5 - 25
या x - 5y = - 20 ............ (i)
स्थिति II
दस वर्ष बाद,
नूरी की आयु = x + 10 वर्ष
सोनू की आयु = y + 10 वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2(y + 10)
या x + 10 = 2y + 20
या x - 2y = 20 - 10
या x - 2y = 10 ............ (ii)
(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)
अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |
(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |
हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |
और दहाई का अंक y है |
तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,
और पलटी हुई संख्या = 10x + y
स्थित I
x + y = 9 ........... (i)
स्थिति II
9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)
या 9(10y + x) = 2(10x + y)
या 90y + 9x = 20x + 2y
या 20x - 9x + 2y - 90y = 0
या 11x - 88y = 0
या x - 8y = 0
या x = 8y ........... (ii)
समीकरण (i) में x = 8y रखने पर
x + y = 9
या 8y + y = 9
या 9y = 9
या y = = 1
y = 1 समीकरण दो में रखने पर
x = 8y = 8 × 1 = 8
अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8
= 18
(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |
हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |
और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |
स्थित I
कुल नोट की संख्या = 25
अत: x + y = 25 ........... (i)
अब स्थित II
50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये
अत: 50x + 100y = 2000
या x + 2y = 40 ........... (ii) (सरल करने पर)
(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |
हल :
माना नियत किराया = x रुपया
और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया
स्थिति I
x + 7y = 27 ......... (i)
स्थिति II
x + 5y = 21 ........... (ii)
अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन
