प्रश्नावली 7.3
Q1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4) (ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
हल: (i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4)
त्रिभुज के तीन शीर्ष A(2, 3), B(–1, 0) और C(2, – 4) है |
हल: (ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)
त्रिभुज के तीन शीर्ष A(–5, –1), B(3, –5) और C(5, 2) है |
Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में 'k' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों :
(i) (7, –2), (5, 1), (3, k) (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, –5)
हल: (i) (7, –2), (5, 1), (3, k)
माना संरेखी त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: A(7, –2), B(5, 1) और C(3, k) है |
संरेखी त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है |
इसलिए, ΔABC का क्षेत्रफल = 0 वर्ग इकाई
हल: (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, –5)
माना संरेखी त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: A(8, 1), B(k, – 4) और C(2, – 5) है |
संरेखी त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है |
इसलिए, ΔABC का क्षेत्रफल = 0 वर्ग इकाई
Q3. शीर्षों (0, –1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: D बिंदु AB का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से D का निर्देशांक –
इसीप्रकार,
E बिंदु BC का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से E का निर्देशांक –
F बिंदु AC का मध्य बिंदु है |
मध्य बिंदु सूत्र से F का निर्देशांक –
D(1, 0), E(1, 2), F(0, 1)
Q4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (– 4, – 2), (– 3, – 5),
(3, – 2) और (2, 3) हैं।
हल:
ABCD के शीर्ष A(– 4, – 2), B(– 3, – 5), C(3, – 2) और D(2, 3) हैं |
ABCD का क्षेत्रफल = ar(DABC) + ar(DACD)
= 10.5 + 17.5 वर्ग इकाई
= 28 वर्ग इकाई
Q5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे
बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम
का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, – 6), B(3, –2) और C(5, 2) हैं।
हल: A(4, – 6), B(3, –2) और C(5, 2) के शीर्ष है |
सिद्ध करना है : ar(DABD) = ar(DACD)
बिंदु D BC का मध्य-बिंदु है |
अत: मध्य-बिंदु सूत्र से बिंदु D केर निर्देशांक –
अत: किसी त्रिभुज की मध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटती है |
प्रश्नावली 7.4
Q1. बिन्दुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |
Q2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x,y), (1,2) और (7,0) सरेंखी हैं|
Q3.बिन्दुओं (6,-6),(3,7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |
Q4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |
Q5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज PQR के निर्देशांक क्या होंगे | साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | आप क्या देखते हैं ?
Q6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की AD/AB AE/AC 1/4 है | त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से कीजिए |
Q7. मान लीजिए A (4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2:1 हो |
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो |
(iv) आप क्या देखते हैं ?
[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है |]
(v) यदि A(x1 y1 )2 B(X2 y2 ) और C(x3 y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
Q8. बिन्दुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिन्दु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए |
