प्रश्नावली 4.3
Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x - 4 = 0
(iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
हल : 2x2 - 7x + 3 = 0
a = 2, b = -7 और c = 3
D = b2 - 4ac
D = (7)2 - 4x2x3
D = 49 - 24
D = 25
b2 - 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |
2x2 - 7x + 3 = 0
दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर
8(2x2 - 7x + 3 = 0)
16x2 - 56x + 24 = 0
( (4x)2 - 2.4x.7 + (7)2 ) - (7)2 + 24 = 0 ( a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 )
(4x - 7)2 - 49 + 24 = 0
(4x - 7)2 - 25 = 0
(4x - 7)2 = 25
4x - 7 = 25
हल : (ii) 2x2 + x - 4 = 0
a = 2, b = 1 और c = -4
D = b2 - 4ac
D = (1)2 - 4x2x(-3)
D = 1 + 24
D = 25
b2 - 4ac > 0
अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |
2x2 + x - 4 = 0
दो से भाग देने पर
अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |
2x2 + x - 4 = 0
दो से भाग देने पर
हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0
a = 2, b = 1, c = 4
D = b2 - 4ac
D = (1)2 - 4 × 2 × 4
D = 1 - 32
D = -31
b2 - 4ac < 0 अर्थात D < 0
अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |
Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए |
हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है -
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x - 4 = 0
हल : (i) 2x2 - 7x + 3 = 0
द्विघाती सूत्र द्वारा :
a = 2, b = - 7, c = 3
हल : (ii) 2x2 + x - 4 = 0
द्विघाती सूत्र द्वारा :
a = 2, b = 1, c = - 4
Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
द्विघाती सूत्र से -
हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |
तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x - 3 वर्ष
=> x2 + 2x - 15 = 3(2x + 2)
=> x2 + 2x - 15 = 6x + 6
=> x2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0
=> x2 - 4x - 21 = 0
=> x2 - 7x + 3x - 21 = 0
=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0
=> (x - 7) (x + 3) = 0
=> x - 7 = 0, x + 3 = 0
=> x = 7 और x = - 3
अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है |
Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |
हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |
इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - x
प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 - x - 3) = 210
या (x + 2) (27 - x) = 210
या 27x - x2 + 54 - 2x = 210
या 25x - x2 + 54 = 210
या x2 - 25x + 210 - 54 = 0
या x2 - 25x + 156 = 0
या x2 - 12x - 13x + 156 = 0
या x(x - 12) - 13(x - 12) = 0
या (x - 12) (x - 13) = 0
या x - 12 = 0, x - 13 = 0
या x = 12 अथवा x = 13
अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 12 = 18
और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 13 = 17
Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m
तो बड़ी भुजा = x + 30 m और
विकर्ण = x + 60 m
प्रश्नानुसार,
चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,
पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से -
AC2 = AB2 + BC2
=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2
=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900
=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900
=> 2x2 - x2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0
=> x2 - 60x - 2700 = 0
=> x2 - 90x + 30x - 2700 = 0
=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0
=> (x - 90) (x + 30) = 0
=> x - 90 = 0, x + 30 = 0
=> x = 90 और x = - 30
चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती
अत: छोटी भुजा = 90 m
तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m
और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m
Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
हल : माना बड़ी संख्या = x
तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x
प्रश्नानुसार,
बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180
x2 - 8x = 180
या x2 - 8x - 180 = 0
=> x2 - 18x + 10x - 180 = 0
=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0
=> (x - 18) (x + 10) = 0
=> x - 18 = 0, x + 10 = 0
=> x = 18 और x = -10
अत: बड़ी संख्या 18 है, x = - 10 नहीं लिया जा सकता |
अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144
Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |
हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h
तय दुरी = 360 km
चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है |
चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h
हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |
तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x - 10 घंटे में
(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )
अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा - 25 घंटे में
तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 - 10 = 15 घंटे में
Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |
हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h
तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h
मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km
- 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे
अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h
Q11 दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m
पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m
प्रश्नानुसार, स्थित I
4x - 4y = 24
x = 18, x = - 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )
पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 - 6 = 12 m
