प्रश्नावली 4.2
Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 - 3x - 10 = 0
हल : x2 - 3x - 10 = 0
x2 - 5x + 3x - 10 = 0
x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x - 5 = 0 तथा x + 2 = 0
(ii) 2x2 + x - 6 = 0
हल : 2x2 + x - 6 = 0
2x2 + 4x - 3x - 6 = 0
x(x + 2 ) - 3(x + 2) = 0
(x + 2) (x - 3) = 0
x + 2= 0 तथा x - 3 = 0
(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0
हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0
√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) - √2(√2x + 5) = 0
(√2x + 5) (x - √2) = 0
√2 x + 5 = 0 तथा x - √2 = 0
√2x = - 5 तथा x = √2
x = - 5 /√2 तथा x = √2
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0
हल : 2x2 - x + 1/8 = 0
2x2 - x + 1/8 = 0
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
हल : 100x2 - 20x + 1 = 0
100x2 - 10x - 10x + 1 = 0
x(10x - 1) -1(10x - 1) = 0
(x - 1)(10x - 1) = 0
10x - 1 = 0 तथा 10x - 1 = 0
x = 1/10तथा x = 1/10
Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|
1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
हल : जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45
माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x
कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-
जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x - 5
जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x - 5
= 40 - x
शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124
(x - 5)(40 - x) = 306 124
40x - x2 - 200 + 5x = 124
- x2 + 40x + 5x - 200 - 124 = 0
- x2 + 45x - 324 = 0
x2 - 45x + 324 = 0
x2 - 36x - 9x + 324 = 0
x(x - 36 ) - 9(x - 36) = 0
(x - 36)(x - 9) = 0
x - 36 = 0 तथा x - 9 = 0
हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x रुपय
उस दिन कुल निर्माण लागत = 750
x(55 - x) = 750
55x - x2 = 750
- x2 + 55x - 750 = 0
x2 - 55x + 750 = 0
x2 - 30x - 25x + 750 = 0
x(x - 30 ) - 25(x - 30) = 0
(x - 30)(x - 25) = 0
x - 30 = 0 तथा x - 25 = 0
x = 30 तथा x = 25
उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x
= 55 - 25
= 30 रूपय
Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |
हल : संख्याओं का योग = 27
संख्याओं का गुणनफल = 182
माना पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = x + 1
दोनों संख्या का गुणनफल = 182
x(27 - x) = 182
27x - x2 = 182
- x2 + 27x - 182= 0
x2 - 27x + 182 = 0
x2 - 14x - 13x + 182 = 0
x(x - 14 ) - 13(x - 14) = 0
(x - 14)(x - 13) = 0
x - 14 = 0 तथा x - 13 = 0
पहली संख्या = x
= 13
दूसरी संख्या = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग = 365
(x)2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x + 1 - 365 = 0
2x2 + 2x + 1 - 365 = 0
2x2 + 2x - 364 = 0
2(x2 + x - 182) = 0
x2 + x - 182 = 0/2
x2 + x - 182 = 0
x2 + 14x - 13x - 182 = 0
x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
(x + 14) (x - 13) = 0
x + 14 = 0 तथा x - 13 = 0
= 13
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 13 + 1
= 14
Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7cm
समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm
पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2
AC2 = AB2 + BC)2
(13)2 = (x - 7)2 + (x)2
169 = x2 - 14x + 49 + x2
120 = 2(x2 - 7x)
x2 - 7x = 2/120
x2 - 7x - 60 = 0
x2 - 12x + 5x - 60 = 0
x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
(x - 12) (x + 5) = 0
x - 12 = 0 तथा x + 5 = 0
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
= 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7 cm
= 12 - 7
= 5 cm
Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |
हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x
प्रत्येक नाग की निर्माण लागत = 2x + 3
उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये
x(2x + 3) = 90
2x2 + 3x = 9
2x2 + 3x - 90 = 0
2x2 + 15x - 12x - 90 = 0
x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0
(2x + 15)(x - 6) = 0
2x + 15 = 0 तथा x - 6 = 0
उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3
= 2 x 6 + 3
= 12 + 3
= 15 रूपये
