उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ:
(1) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(2) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
(3) x2 - y2 = (x + y) (x - y)
(4) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(5) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(6) (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
(7) x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
(8) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
(9) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
(10) x3 + y3 + z3 - 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
अभ्यास 2.5
Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(i) (x + 4) (x + 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x2 + (4 + 10)x + (4)(10)
= x2 + 14x + 40
(ii) (x + 8) (x – 10)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x2 + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x2 - 2x - 80
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)2 + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x2 - 3x - 20
सर्वसमिका (x + y) (x - y) = x2 - y2 का प्रयोग करने पर
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x - y) = x2 - y2 का प्रयोग करने पर
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 - (2x)2
= 9 - 4x2
Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)2 + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21
= 11021
(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)2 + (5 + 6)90 + 5×6
=8100 + 990 + 30
= 9120
(iii) 104 × 96 = (100 + 4) (100 - 4)
सर्वसमिका (x + y) (x - y) = x2 - y2 का प्रयोग करने पर
(100)2 - (4)2
=10000 - 16
= 9984
3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2
(ii) 4y2 – 4y + 1
हल:
(i) 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + (y)2 [ ∵ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2]
∴ = (3x + y)2
= (3x + y) (3x + y)
(ii) 4y2 - 4y + 1
= (2y)2 - 2.2y.1 + (1)2 [ ∵ x2 - 2xy + y2 = (x - y)2]
∴ = (2y - 1)2
= (2y - 1) (2y - 1)
[ ∵ x2 - y2 = (x + y) (x - y) ]
Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)2
(ii) (2x – y + z)2
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2
(v) (–2x + 5y – 3z)2
हल:
(i) (x + 2y + 4z)2
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx
(ii) (2x – y + z)2
यहाँ माना कि a = 2x, b = - y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)2 = (2x)2 + (- y)2 + (z)2 + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x2 + y2 + z2 - 4xy - 2yz + 4zx
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
यहाँ माना कि a = - 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (–2x + 3y + 2z)2
= (– 2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(–2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(–2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx
(iv) (3a – 7b – c)2
यहाँ माना कि x = 3a, y = – 7b, z = – cऔर x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)2
= (3a)2 + (– 7b)2 + (– c)2 + 2(3a)(– 7b) + 2(– 7b)(– c) + 2(– c)(3a)
= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ac
(v) (–2x + 5y – 3z)2
यहाँ माना कि a = - 2x, b = 5y, c = –3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (–2x + 5y – 3z)2
= (– 2x)2 + (5y)2 + (– 3z)2 + 2(–2x)(5y) + 2(5y)(– 3z) + 2(– 3z)(–2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx
Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
हल:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 ]
= (2x + 3y + 4z)2
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)
Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)3
(ii) (2a – 3b)3
हल:
(i) (2x + 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(2x + 1)3 = (2x)3 + 3(2x)2(1) + 3(2x)(1)2 + (1)3
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1
(ii) (2a – 3b)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3]
(2a - 3b)3 = (2a)3 - 3(2a)2(3b) + 3(2a)(3b)2 - (3b)3
= 8a3 - 36a2b + 54ab2 - 27b3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3]
Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3
(ii) (102)3
(iii) (998)3
हल :
(i) (99)3
= (100 - 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3]
(100 - 1)3 = (100)3 - 3(100)2(1) + 3(100)(1)2 - (1)3
= 1000000 - 30000 + 300 - 1
= 1000300 - 30001
= 970299
(ii) (102)3
= (100 + 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(100 + 2)3 = (100)3 + 3(100)2(2)+ 3(100)(2)2 + (2)3
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208
(iii) (998)3
= (1000 - 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3]
(1000 - 2)3 = (1000)3 - 3(1000)2(2)+ 3(1000)(2)2 - (2)3
= 1000000000 - 6000000 + 12000 - 8
= 1000012000 - 6000008
= 994011992
Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
हल:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 = (x + y)3 ]
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a + b)3
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)
(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 - (b)3 - 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 - y3 - 3x2y + 3xy2 = (x - y)3 ]
= (2a)3 - (b)3 - 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a - b)3
= (2a - b)(2a - b)(2a - b)
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
= (3)3 - (5a)3 - 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 - y3 - 3x2y + 3xy2 = (x - y)3 ]
= (3)3 - (5a)3 - 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2= (3 - 5a)3
= (3 - 5a)(3 - 5a)(3 - 5a)
(iv) 64a3– 27b3 – 144a2b + 108ab2
= (4a)3 - (3b)3 - 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 - y3 - 3x2y + 3xy2 = (x - y)3 ]
= (4a)3 - (3b)3 - 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2 = (4a - 3b)3
= (4a - 3b)(4a - 3b)(4a - 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 - y3 - 3x2y + 3xy2 = (x - y)3 ]
Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
हल :
RHS = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
= x3 + y3
∵ LHS = RHS सत्यापित
(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
हल :
RHS = (x - y) (x2 + xy + y2)
x(x2 + xy + y2) - y(x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
= x3 – y3
∵ LHS = RHS सत्यापित |
Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y3 + 125z3
(ii) 64m3 – 343n3
हल :
(i) 27y3 + 125z3
= (3y)3 + (5z)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) ]
(3y)3 + (5z)3 = (3y + 5y) [(3y)2 - (3y)(5z) + (5z)2]
= (3y + 5y) (9y2 - 15yz + 25z2)
(ii) 64m3 – 343n3
हल :
(ii) 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) ]
(4m)3 – (7n)3 = (4m – 7n) [(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n2)
Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
हल :
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 - 9xyz
∵ x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)2 + (y)2 + (z)2 - (3x)(y) - (y)(z) - (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 - 3xy - yz - 3zx)
Q12. सत्यापित कीजिए:
x3 + y3 + z3 - 3xyz =½ (x + y + z) [(x -y)2 + (y - z)2 + (z - x)2]
हल :
LHS = ½(x + y + z) [x2 - 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + z2 - 2xz + x2]
= ½(x + y + z) (2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz)
= ½ × 2(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
= x3 + y3 + z3 - 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS
Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है |
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x3 + y3 + z3 - 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
= (0) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
= 0
अत: x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
या x3 + y3 + z3 = 3xyz सत्यापित
Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (–12)3 + (7)3 + (5)3
(ii) (28)3 + (–15)3 + (–13)3
हल : (i) (–12)3 + (7)3 + (5)3
प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x3 + y3 + z3 = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि - 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x3 + y3 + z3 = 3xyz [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × (-12) × 7 × 5
= - 1260
हल : (ii) (28)3 + (–15)3 + (–13)3
28 + (-15) + (-13) = 28 - 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x3 + y3 + z3 = 3xyz
अब, (28)3 + (–15)3 + (–13)3 = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380
Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये |
(i) क्षेत्रफल : 25a2 - 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y - 12
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a2 - 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a2 - 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a2 - 35a + 12 = 25a2 + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3 उत्तर
हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y - 12
गुणनखंड करने पर
35y2 + 13y - 12 = 35y2 + 28y - 15y - 12
= 7y(5y + 4) - 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y - 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y - 3
Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x3 - 12x
(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky - 20k
हल : (i) आयतन : 3x3 - 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x3 - 12x
= 3x(x - 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x - 4 उत्तर
हल : (ii) आयतन : 12ky2 + 8ky - 20k
आयतन = 12ky2 + 8ky - 20k
= 4k(3y2 + 2y - 5)
= 4k(3y2 + 5y - 3y - 5)
= 4k[y(3y + 5) - 1(3y + 5)]
= 4k(3y + 5) (y - 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y - 1) उत्तर
