प्रश्नावली 6.5
Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल :
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
252 = 72 + 242
625 = 49 + 576
625 = 625
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
82 = 32 + 62
64 = 9 + 36
64 = 45
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
1002 = 502 + 802
10000 = 2500 + 6400
10000 = 8900
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
132 = 52 + 122
169 = 25 + 144
169 = 169
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |
हल:
दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है
जिसका कोण P समकोण है तथा QR
पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है |
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |
इसलिए प्रमेय 6.7 से
ΔPMQ ~ ΔPRQ ...... (1)
इसीप्रकार,
ΔPMR ~ ΔPRQ ...... (1)
समीकरण (1) तथा (2) से
ΔPMQ ~ ΔPMR
Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
हल :
दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |
सिद्ध करना है :
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और
AC ⊥ BD दिया है |
ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7
Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसका कोण C समकोण है |
सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2
प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AC = BC .......... (i)
और ABC एक समकोण त्रिभुज है |
पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = BC2 + AC2
अथवा AB2 = AC2 + AC2 (समी० 1 से)
अथवा AB2 = 2AC2 Proved
Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसमें AC = BC है और AB2 = 2AC2 है
सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |
प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है
और AB2 = 2AC2 ......... (दिया है)
अथवा AB2 = AC2 + AC2
अथवा AB2 = BC2 + AC2 ( समी० 1 से )
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से
ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved
Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |
AB = BC = AC = 2a
रचना : AD ⊥ BC डाला |
अत: समकोण त्रिभुज ACD में
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AD2 + DC2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 = AD2 + a2
AD2 = 4a2 - a2
AD2 = 3a2
Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी
भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण
AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2
प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,
समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB2 = AO2 + BO2 …………… (1)
इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,
BC2 = CO2 + BO2 …………… (2)
CD2 = CO2 + DO2 …………… (3)
AD2 = AO2 + DO2 …………… (4)
समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर
AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2
RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2
= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2)
Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
दर्शाइए कि
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
हल:
दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
सिद्ध करना है :
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
प्रमाण:
समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से
OA2 = AF2 + OF2 ......................... (I)
समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से
OB2 = BD2 + OD2 ......................... (II)
समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से
OC2 = CE2 + OE2 ......................... (III)
समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर
OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD2 + CE2 + OE2
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 Proved I
अब, पुन:
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
या AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
या AF2 + BD2 + CE2 = (OA2 – OE2 ) + (OB2 – OF2 ) + (OC2 – OD2)
या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 पाइथागोरस प्रमेय से
Q9.
Q10.
Q11.
Q12.
Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |
सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |
Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |
सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है |
Q16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |
