अभ्यास प्रश्न (NCERT Book Solutions) chap 10. गुरुत्वाकर्षण
Q1.यदि दो वस्तुओं के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए तो उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल किस प्रकार बदलेगा?
उत्तर: यदि दो वस्तुओं के बीच की दुरी को आधा कर दिया जाए तो उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल चार गुणा बढ़ जायेगा |
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियमानुसार दो वस्तुओं के बीच लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उनके बीच की दुरी के वर्ग का व्युत्क्रमानुपाती होता है |
यदि दुरी को आधा कर दिया जाए तो r = r/2 हो जायेगा इस स्थिति में
गुरुत्वाकर्षण बल चार गुणा बढ़ जायेगा |
Q2. सभी वस्तुओं पर लगने वाला गुरुत्वीय बल उनके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। फिर एक भारी वस्तु हलकी वस्तु के मुकाबले तेजी से क्यों नहीं गिरती?
उत्तर: सभी वस्तुएँ चाहे वो हलकी हो या भारी वो धरती पर एक नियत त्वरण के साथ गिरती है जिसे गुरुत्वीय त्वरण कहते है (बिना वायु प्रतिरोध के) | यह स्थिर है और किसी वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। अतः भारी वस्तुएँ हल्की वस्तुओं की तुलना में तेजी से नहीं गिरती हैं। धरती की ओर गिरती सभी वस्तुएँ मुक्त पतन में रहती है |
Q3. पृथ्वी तथा उसकी सतह पर रखी किसी 1kg की वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल का परिमाण क्या होगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान 6 × 1024 kg है तथा पृथ्वी की त्रिज्या 6.4 × 106 m हैं ।)
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार m द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल मापा जाता है-
पृथ्वी का द्रव्यमान, M = 6 × 1024 kg
वस्तु का द्रव्यमान, m = 1 kg
सार्वभौमिक गुरुत्वीय स्थिरांक, G = 6.7 × 10−11 Nm2 kg−2
चूंकि वस्तु पृथ्वी की सतह पर है अत: पृथ्वी और वस्तु की बीच की दुरी r,
r = पृथ्वी की त्रिज्या (R)
r = R= 6.4 × 106 मीटर
इसलिए, गुरुत्वाकर्षण बल =
Q4.पृथ्वी तथा चंद्रमा एक-दूसरे को गुरुत्वीय बल से आकर्षित करते हैं। क्या पृथ्वी जिस बल से चंद्रमा को आकर्कषित करती है वह बल, उस बल से जिससे चन्द्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है बड़ा है या छोटा है या बराबर है? बताइए क्यों?
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार, दो वस्तुएँ समान बल से एक दूसरे को आकर्षित करती हैं, लेकिन विपरीत दिशाओं में। पृथ्वी चंद्रमा को उसी बल से आकर्षित करती है, जिससे चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है। पृथ्वी चन्द्रमा की तुलना में अधिक बल लगाता है क्योंकि पृथ्वी का आकार और द्रव्यमान चन्द्रमा की तुलना में अधिक है इसलिए इसका गुरुत्वीय बल भी बढ़ जाता है |
Q5.यदि चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है, तो पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति क्यों नहीं करती?
उत्तर: पृथ्वी और चंद्रमा एक दूसरे से समान गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करते हैं। हालाँकि, पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान से बहुत अधिक है। इसलिए, यह पृथ्वी की ओर चंद्रमा की त्वरण दर से कम दर से गति करता है। इसी वजह से पृथ्वी चांद की तरफ नहीं बढ़ती।
Q6. दो वस्तुओं के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का क्या होगा, यदि
(i) एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए?
(ii) वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी अथवा तीन गुनी कर दी जाए?
(iii) दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएँ?
उत्तर: (i) यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दुगुना कर दिया जाए तो गुरुत्वाकर्षण बल भी दुगुना हो जाता है |
(ii) F, वस्तुओं के बीच की दूरियों के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि दूरी दोगुनी कर दी जाए तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का एक चौथाई हो जाता है।
इसी तरह, यदि दूरी को तीन गुना कर दिया जाए, तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का एक-नौवां हिस्सा हो जाता है।
(iii) F वस्तुओं के द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती होता है। यदि दोनों वस्तुओं की द्रव्यमान संख्या दोगुनी कर दी जाए तो गुरुत्वाकर्षण बल मूल बल का चार गुना हो जाता है|
Q7.गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के क्या महत्व हैं?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का महत्व :
(i) इसके कारण हम पृथ्वी से बंधे रहते है |
(ii) पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति |
(iii) सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति |
(iv) चन्द्रमा तथा सूर्य के कारण ज्वार-भाटा |
Q8. मुक्त पतन का त्वरण क्या है?
उत्तर: जब कोई वस्तु पृथ्वी के आकर्षण बल के कारण पृथ्वी कि ओर मुक्गित रूप से गिरती है तो इसे मुक्त पतन कहते हैं | मुक्त पतन का त्वरण 9.8 ms−2 है, जो सभी वस्तुओं के लिए स्थिर है |
Q9.पृथ्वी तथा किसी वस्तु के बीच गुरुत्वीय बल को हम क्या कहेंगे?
उत्तर: पृथ्वी और किसी वस्तु के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को वस्तु का भार कहते हैं।
Q10. एक व्यक्ति A अपने एक मित्र के निर्देश ध्रुर्वो पर कुछ ग्राम सोना खरीदता है। वह इस सोने को विषुवत वृत्त पर अपने मित्र को देता है। क्या उसका मित्र खरीदे हुए सोने के भार से संतुष्ट होगा? यदि नहीं, तो क्यों? ( संकेतः ध्रुवों पर g का मान विषुवत वृत्त की अपेक्षा अधिक है।)
उत्तर: पृथ्वी पर किसी पिंड का भार W = mg द्वारा दिया जाता है
जहाँ,
m = वस्तु का द्रव्यमान
g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण
जहाँ g का मान अधिक होने पर किसी वस्तु का भार भी गुरुत्व बल के कारण बढ़ जाता है। जबकि भूमध्य रेखा की तरह अधिक त्रिज्या है, एक वस्तु का वजन भी कम हो जाता है। भूमध्य रेखा की अपेक्षा ध्रुवों पर g का मान अधिक होता है। इसलिए भूमध्य रेखा पर सोने का वजन ध्रुवों की तुलना में कम होता है। अत: अमित का मित्र खरीदे गए सोने के वजन से सहमत नहीं होगा।
Q11. एक कागज की शीट, उसी प्रकार की शीट को मरोड़ कर बनाई गई गेंद से धीमी क्यों गिरती है?
उत्तर: जब कागज की एक शीट को मरोड़ कर एक गेंद बना दिया जाता है, तो इसका घनत्व बढ़ जाता है। इसलिए, हवा के माध्यम से इसकी गति का प्रतिरोध कम हो जाता है और यह कागज की शीट की तुलना में तेजी से गिरती है। जबकि कागज को हवा का प्रतिरोध झेलना पड़ता है |
Q12. चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय बल, पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय बल की अपेक्षा 1/6 गुणा है। एक 10g की वस्तु का चंद्रमा पर तथा पृथ्वी पर न्यूटन में भार क्या होगा?
उत्तर: किसी वस्तु का चंद्रमा पर भार =1/6× किसी वस्तु का पृथ्वी पर भार
साथ ही साथ
भार = द्रव्यमान × त्वरण
गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 m/s2
अत: 10 किग्रा वस्तु का पृथ्वी पर भार = 10 × 9.8 = 98 N
तथा, उसी वस्तु का चन्द्रमा पर भार =1/6×98=16.3 N
Q13. एक गेंद ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 49 m/s के वेग से फेंकी जाती है। परिकलन कीजिए
(i) अधिकतम ऊँचाई जहाँ तक कि गेंद पहुँचती है।
(ii) पृथ्वी की सतह पर वापस लौटने में लिया गया कुल समय।
उत्तर:
(i) गुरुत्वाकर्षण के नियमानुसार गति के समीकरण के अनुसार v2 - u2 = 2gs
जहाँ,
u = गेंद का प्रारंभिक वेग
v = गेंद का अंतिम वेग
s = गेंद द्वारा हासिल की गई ऊँचाई
g = गुरुत्वीय त्वरण
अधिकतम ऊंचाई पर, गेंद का अंतिम वेग शून्य होता है, अर्थात, v = 0 m/s और u = 49 m/s
ऊपर की ओर गति के दौरान, g = − 9.8 ms−2
बता दें कि गेंद द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊंचाई h है।
इसलिए, 𝑣2−𝑢2=2𝑔𝑠 का उपयोग करने पर
02 - 492 = 2 x (-9.8)xh
= 122.5 m
(ii) मान लीजिए गेंद को 122.5 मीटर की ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय t है, तो गति के समीकरण के अनुसार 𝑣 = 𝑢 + 𝑔𝑡
हम पाते हैं, 0=49+(−9.8)𝑡 ⇒9.8𝑡=49 ⇒𝑡=49/9.8=5 s
परंतु,
चढ़ने का समय = उतरने का समय
अत: गेंद को लौटने में लगा कुल समय = 5 + 5 = 10 s
Q14. 19.6 m ऊँची एक मीनार की चोटी से एक पत्थर छोड़ा जाता है। पृथ्वी पर पहुँचने से पहले इसका अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण के नियमानुसार गति के समीकरण के अनुसार v2 - u2 = 2gs
जहाँ,
u = पत्थर का प्रारंभिक वेग = 0 m/s
v = पत्थर का अंतिम वेग
s = पत्थर की ऊँचाई = 19.6 मीटर
g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 9.8 ms−2
∴ v2 − 02 = 2 × 9.8 × 19.6
⇒ v2 = 2 × 9.8 × 19.6 = (19.6)2
⇒ v = 19.6 ms-1
इसलिए, जमीन को छूने से ठीक पहले पत्थर का वेग 19.6 ms-1 है।
Q15. कोई पत्थर ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 40 m/s के प्रारंभिक वेग से फेंका गया है। g= 10 m/s2 लेते हुए ग्राफ की सहायता से पत्थर द्वारा पहुँची अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए। नेट विस्थापन तथा पत्थर द्वारा चली गई कुल दूरी कितनी होगी?
उत्तर:
गुरुत्वाकर्षण के नियमानुसार और गति के समीकरण के अनुसार v2 - u2 = 2gs
जहाँ,
u = पत्थर का प्रारंभिक वेग = 40 m/s
v = पत्थर का अंतिम वेग = 0 मी/से
s = पत्थर की ऊँचाई
g = गुरुत्वीय त्वरण = −10 ms−2
मान लीजिए कि पत्थर द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई h है।
इसलिए, 02−402=2(−10)ℎ⇒ℎ=40×4020=80 𝑚
इसलिए, ऊपर और नीचे की यात्रा के दौरान पत्थर द्वारा तय की गई कुल दूरी = 80 + 80 = 160 मीटर
इसके ऊपर और नीचे की यात्रा के दौरान शुद्ध विस्थापन = 80 + (−80) = 0
अत: विस्थापन 0 है |
Q16. पृथ्वी तथा सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिकलन कीजिए। दिया है, पृथ्वी का द्रव्यमान = 6 × 1024 kg तथा सूर्य का द्रव्यमान = 2 × 1030 kg दोनों के बीच औसत दूरी 1.5 × 1011m है।
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार, पृथ्वी और सूर्य के बीच आकर्षण बल मापा जाता है -
जहाँ,
Mसूर्य = सूर्य का द्रव्यमान = 2 × 1030 kg
Mपृथ्वी = पृथ्वी का द्रव्यमान = 6 × 1024 किग्रा
R = पृथ्वी और सूर्य के बीच की औसत दूरी = 1.5 × 1011 m
G = सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक = 6.7 × 10-11 Nm2 kg-2
= 3.57×1022 𝑁
अत: पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल 3.57×1022 𝑁 है
Q17. कोई पत्थर 100 m ऊँची किसी मीनार की चोटी से गिराया गया और उसी समय कोई दूसरा पत्थर 25 m/s के वेग से ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका गया। परिकलन कीजिए कि दोनों पत्थर कब और कहाँ मिलेंगे?
उत्तर:
मान लीजिए दोनों पत्थर समय t के बाद मिलते हैं।
जब मीनार से पत्थर गिरा
प्रारंभिक वेग, u = 0 मी/से
माना कि t समय में मीनार के शिखर से पत्थर का विस्थापन s है।
गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 ms−2
गति के समीकरण से,
s = 4.9t2 ........................... (i)
जब पत्थर ऊपर की ओर फेंका जाता है
प्रारंभिक वेग, u = 25 ms-1
माना t समय में जमीन से पत्थर का विस्थापन 𝑠' है।
गुरुत्वीय त्वरण, g = −9.8 ms−2
गति का समीकरण से,
⇒𝑠′=25𝑡−4.9𝑡2 …………………….(ii)
मिलन बिंदु पर दोनों पत्थरों का संयुक्त विस्थापन 100 मीटर मीनार की ऊंचाई के बराबर है।
अत: 𝑠′+𝑠=100
⇒25𝑡−4.9𝑡2+4.9𝑡2=100
⇒𝑡=100/25𝑠=4𝑠
4 सेकेंड में,
गिरते हुए पत्थर ने (i) द्वारा दी गई दूरी को 𝑠=4.9×42=78.4 𝑚 के रूप में तय किया है इसलिए, पत्थर 4 s के बाद जमीन से ऊँचाई (100 – 78.4) = 20.6 मीटर पर मिलेंगे।
Q18. ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद 6s पश्चात् फेंकने वाले के पास लौट आती है। ज्ञात कीजिए
(a) यह किस वेग से ऊपर फेंकी गई
(b) गेंद द्वारा पहुँची गई अध्कितम ऊँचाई तथा
(c) 4s पश्चात् गेंद की स्थिति।
उत्तर:
(a) चढ़ाई का समय उतरने के समय के बराबर है। गेंद ऊपर और नीचे की यात्रा में कुल 6 s लेती है।
इसलिए, इसे अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करने में 3 s का समय लगा है।
अधिकतम ऊँचाई पर गेंद का अंतिम वेग, v = 0 मी/से
गुरुत्व के कारण त्वरण, g = −9.8 ms−2
गति के समीकरण का उपयोग करने पर, v = u + at, हमारे पास है
0 = u + (−9.8 × 3)
⇒ u = 9.8 × 3 = 29.4 m/s
अत: गेंद को 29.4 m/s के वेग से ऊपर की ओर फेंका गया।
(b) माना कि गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h है।
ऊपर की ओर यात्रा के दौरान प्रारंभिक वेग, u = 29.4 m/s
अंतिम वेग, v = 0 m/s
गुरुत्वीय त्वरण, g = −9.8 ms−2
गति के सूत्र का उपयोग करने पर
इसलिए, अधिकतम ऊंचाई 44.1 m है।
(c) गेंद 3 सेकंड के बाद अधिकतम ऊंचाई प्राप्त करती है। इतनी ऊंचाई हासिल करने के बाद यह नीचे की ओर गिरने लगेगा।
अत: इस स्थिति में,
प्रारंभिक वेग, u = 0 m/s
फेंकने के 4 s के बाद गेंद की स्थिति उसके द्वारा 4 s - 3 s = 1 s में अपनी नीचे की यात्रा के दौरान तय की गई दूरी के द्वारा दी जाती है।
गति के समीकरण का उपयोग करके,
𝑠=𝑢𝑡+1/2𝑎𝑡2
𝑠=0×1+1/2×9.8×12
⇒𝑠=4.9 मीटर
अब, कुल ऊँचाई = 44.1 m
इसका मतलब है, गेंद 4 सेकंड के बाद जमीन से (44.1 मीटर - 4.9 मीटर) = 39.2 मीटर ऊपर है।
Q19. किसी द्रव में डुबोई गई वस्तु पर उत्प्लावन बल किस दिशा में कार्य करता है?
उत्तर: किसी द्रव में डुबोई गई वस्तु पर उत्प्लावन बल ऊपर की दिशा में कार्य करता है |
Q20. पानी के भीतर किसी प्लास्टिक के गुटके को छोड़ने पर यह पानी की सतह पर क्यों आ जाता है?
उत्तर: पानी में डूबी किसी वस्तु पर दो बल कार्य करते हैं। एक गुरुत्वाकर्षण बल है, जो वस्तु को नीचे की ओर खींचता है, और दूसरा उत्प्लावन बल है, जो वस्तु को ऊपर की ओर धकेलता है। यदि ऊपर की ओर उत्प्लावन बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक है, तो वस्तु पानी के भीतर छोड़ते ही पानी की सतह पर आ जाती है अर्थात तैरने लगती है। इसी वजह से पानी के अंदर छोड़ा गया प्लास्टिक का एक ब्लॉक पानी की सतह पर आ जाता है।
Q21. 50 g के किसी पदार्थ का आयतन 20 cm3 है। यदि पानी का घनत्व 1 g cm-3 हो, तो पदार्थ तैरेगा या डूबेगा?
उत्तर: यदि किसी वस्तु का घनत्व किसी द्रव के घनत्व से अधिक है तो वह द्रव में डूब जाती है। दूसरी ओर, यदि किसी वस्तु का घनत्व किसी तरल के घनत्व से कम है, तो वह तरल की सतह पर तैरती है।
पदार्थ का घनत्व पानी के घनत्व (1 g cm−3) से अधिक है।
अत: पदार्थ जल में डूब जाएगा।
Q22. 500 g के एक मोहरबंद पैकेट का आयतन 350cm3 है। पैकेट 1g cm-3 घनत्व वाले पानी में तैरेगा या डूबेगा? इस पैकेट द्वारा विस्थापित पानी का द्रव्यमान कितना होगा?
उत्तर:
पदार्थ का घनत्व पानी के घनत्व (1 𝑔/𝑐𝑚3) से अधिक होता है। अत: यह पानी में डूब जाएगा। पैकेट द्वारा विस्थापित पानी का द्रव्यमान पैकेट के आयतन के बराबर है, यानी 350 ग्राम।
