Exercise 8.2
Q1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं | AC उसका एक विकर्ण है | दर्शाइए कि
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं |
सिद्ध करना है :
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है) .
इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |
Q2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
हल :
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S
क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है :
PQRS एक आयत है |
प्रमाण : त्रिभुज ADC में
AD तथा CD का मध्यबिंदु क्रमश: S तथा R है | (दिया है )
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है) .
इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |
चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है |
इसलिए, ∠AOD = 90०
या ∠MON = 90०
(समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं !)
अब SR || AC और SP || BD है
तो SMON भी एक समान्तर चतुर्भुज है |
इसलिए ∠MSN = ∠MON = 90० (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
या ∠PSR = 90०
अत: PQRS एक आयत है | Proved
Q3. ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं | दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है |
हल :
दिया है : ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं |
सिद्ध करना है :
PQRS एक समचतुर्भुज है |
रचना : A को C से मिलाया |
प्रमाण : त्रिभुज ADC में
AD तथा CD का मध्यबिंदु क्रमश: S तथा R है | (दिया है )
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय से
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है) .
इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |
अब, चूँकि ABCD एक आयत है |
इसलिए , AB || CD या SQ || CD ...(i)
(क्योंकि S तथा Q AD तथा BC के मध्य-बिंदु है |)
इसीप्रकार AD || PR ...... (ii)
अत: समीकरण (i) तथा (ii) से
DSOR एक समान्तर चतुर्भुज है |
इसलिए, ∠SOR = ∠D (समान्तर चतुर्भुज कि सम्मुख भुजा)
जबकि, ∠D = 90० (आयत का प्रत्येक कोण)
इसलिए ∠SOR = 90०
चूँकि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं |
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है |
(वह समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं समचतुर्भुज कहलाता है |)
Q4. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है । दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है।
साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का
मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर
खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है ।
सिद्ध करना है : CF = BF
रचना : D को B से मिलाया जो EF को G पर प्रतिच्छेद करता है |
प्रमाण :
DABD में,
AB || EF ..... (i) (दिया है)
और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है |
(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
इसलिए बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है | .... (i)
अब AB || CD ....... (ii) (दिया है)
समीकरण (i) तथा (ii) से
CD || EF और बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है [समीकरण (i) से]
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से DBCD में
F भुजा BC का मध्य-बिंदु है |
इसलिए CF = BF proved
Q5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं | दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं |
हल :
दिया है : एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F
क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं |
सिद्ध करना है : DP = PQ = QB
प्रमाण :
DABP में,
E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और AF||EC दिया है |
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
Q भुजा PB का मध्य-बिंदु है |
अत: PQ = QB .......... (i)
(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)
अब, DCDQ में,
F भुजा CD का मध्य-बिंदु है और AF||EC दिया है |
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
P भुजा DQ का मध्य-बिंदु है |
इसलिए, DP = PQ ........ (ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
DP = PQ = QB Proved
Q6. दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसके भुजाएँ
AB, BC, CD और DA का मध्य-बिंदु क्रमश:
P, Q, R और S है |
सिद्ध करना है : विकर्ण PR और SQ एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |
रचना : P, Q, R और S को मिलाया और A को C से मिलाया |
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म में से कोई भी एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वो समान्तर चतुर्भुज होता है) .
इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |
अब चूँकि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तो इसके विकर्ण PR और SQ एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |
(समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समद्विभाजित करते है |)
Q7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खिंची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि
हल :
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसका
कोण C समकोण है | कर्ण AB के मध्य-बिंदु
M से होकर BC के समांतर खिंची गई रेखा
AC को D पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है :
प्रमाण : (i) DABC में
M भुजा AB का मध्य-बिंदु है और MD || BC है |
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खिंची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है)
इसलिए, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है |
अत: AD = CD ........ (i)
(ii) MD || BC दिया है और AC एक तिर्यक रेखा है |
