प्रश्नावली 6.2
Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल :
x + 50° = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° - 50°
⇒ x = 130°
y = 130°
x = y = 130° (एकांतर कोण गुणधर्म से )
AB || CD
Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए |
हल :
AB || CD ........ (1) दिया है ;
CD || EF ......... (2) दिया है ;
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि
AB || EF ..........(3)
∴ x = z ........ (4) एकांतर कोण
अब, y = 3k तथा z = 7k माना
AB || CD दिया है;
∴ x + y = 180° (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग )
अथवा z + y = 180°
⇒ 7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°
चूँकि x = z समी० (4) से
∴ x = 7k = 7 × 18° = 126° उत्तर
Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |
हल : ∠GED = 126°
AB || CD दिया है |
∴ ∠AGE = ∠GED (एकांतर कोण)
अत : ∠AGE = 126°
∠GED = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + 90° = 126° (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)
∠GEF = 126° - 90°
∠GEF = 36°
अब,
∠AGE + ∠FGE = 180° ( रैखिक युग्म )
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° - 126°
∠FGE = 54°
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°
Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |
[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खिचिए |
हल :
रचना : बिंदु R से होकर XY || ST खिंचा |
PQ || ST .............. (1) दिया है |
XY || ST .................(2) रचना से
समी० (1) तथा (2) से
PQ || XY ................. (3)
XY || ST रचना से
∠RST + ∠SRY = 180° (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
⇒ 130° + ∠SRY = 180°
⇒ ∠SRY = 180° - 130°
⇒ ∠SRY = 50°
PQ || XY ................. (3) से
∴ ∠PQR = ∠QRY (एकांतर कोण)
110° = ∠QRS + ∠SRY
110° = ∠QRS + 50°
∠QRS = 110° - 50°
∠QRS = 60°
Q5 आकृति6.32 में, यदि AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात कीजिए |
हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°
AB || CD दिया है |
∴ ∠APQ = ∠PQR ( एकांतर कोण )
या x = 50°
पुन: ∠APR = ∠PRD ( एकांतर कोण )
या y + 50° = 127°
या y = 127° - 50°
या y = 77°
x = 50° और y = 77°
Q6.आकृति6.33 में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि AB||CD है |
हल:
दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है |
सिद्ध करना है : AB || CD
रचना :
BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा |
प्रमाण :
BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS
∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ∠2 = ∠ 3 ............ (1) (एकांतर अंत:कोण )
जबकि हम जानते है कि -
आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं |
∴ ∠1 = ∠ 2 .............. (2)
इसीप्रकार,
∴ ∠3 = ∠ 4 .............. (3)
समी०(1) (2) और (3) से हम पाते है |
∠1 = ∠ 4 ................ (4)
समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4
∠ABC = ∠ BCD (एकांतर अत: कोण)
इसलिए, AB || CD Proved