प्रश्नावली 5.2
कक्षा - 10 (NCERT Solution)
Q1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है:
Solution:
(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?
an = a + (n - 1)d
a8 = 7 + (8 - 1)3
= 7 + 7 ×3 = 7 + 21
= 28
(ii) a = - 18, n = 10, an = 0, d = ?,
an = a + (n - 1)d
a10 = - 18 + (10 - 1)d
0 = -18 + 9d
9d = 18
(iii) d = -3, n = 18, an = -5, a = ?
an = a + (n - 1)d
a18 = a + (18 - 1)d
-5 = a + 17(- 3)
-5 + 51 = a
a = 46
(iv) a = - 18.9, d = 2.5, an = 3.6 n = ?
an = a + (n - 1)d
3.6 = - 18.9 + (n - 1)2.5
3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5
(n - 1)2.5 = 22.5
(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, an = ?
an = a + (n - 1)d
= 3.5 + (105 - 1)0
= 3.5 + 0
= 3.5
Q2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, ...................... का 30 वाँ पद है:
(A) 97 (B) 77 (C) –77 (D) – 87
Solution:
a = 10, d = 7 - 10 = -3
30 वाँ पद = ?
a30 = a + 29d
= 10 + 29(-3)
= 10 - 87
= - 77
Correct Answer: (C) - 77
Correct Answer: (B) 22
Q3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) a = 2, b = ?, c = 26
Solution:
Solution: (ii) a2 = 13,
∴ a + d = 13 ................ (1)
a4 = 3
∴ a + 3d = 3 .................(2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 3d - (a + d) = 3 - 13
a + 3d - a - d = -10
2d = - 10
d = -5
d का मान समीo (1) में रखने पर
a + d = 13
a + (- 5) = 13
a = 13 + 5
a = 18
a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)
= 18 - 10 = 8
अत: 18, 13, 8, 3
Q4. A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?
Solution:
a = 3, d = 8 - 3 = 5, an = 78
an = a + (n - 1) d
78 = 3 + (n - 1) 5
78 - 3 = (n - 1) 5
75 = (n - 1) 5
n - 1 = 75/5
n - 1 = 15
n = 15 + 1
n = 16
अत: 16 वाँ पद 78 है |
Q5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, ................. , 205
Solution:
a = 7, d = 13 - 7 = 6, an = 205
an = a + (n - 1) d
205 = 7 + (n - 1) 6
205 - 7 = (n - 1) 6
198 = (n - 1) 6
n - 1 = 33
n = 33 + 1
n = 34
इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |
इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |
Q6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद - 150 है ? क्यों ?
Solution:
a = 11, d = 8 - 11 = - 3 और an = - 150
an = a + (n - 1) d
- 150 = 11 + (n - 1) - 3
- 150 - 11 = (n - 1) -3
- 161 = (n - 1) - 3
n - 1 = 53. 66
n = 53.66 + 1
n = 54.66
यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है
इसलिए - 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |
Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Solution:
31वाँ पद = ?
a11 = 38
⇒a + 10d = 38 ..................... (1)
a16 = 73
⇒ a + 15d = 73 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 15d - (a + 10d ) = 73 - 38
a + 15d - a - 10d = 35
5d = 35
d = 7
समीo (1) में d का मान 7 रखने पर
a + 10d = 38
a = 10 (7) = 38
a = 38 - 70
a = - 32
अब, a31 = a + 30d
⇒ a31 = - 32 + 30(7)
⇒ a31 = - 32 + 210
⇒ a31 = 178
अत: 31 वाँ पद 178 है |
Q8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
A.P में 50 पद हैं |
अत: n = 50
a3 = 12
⇒ a + 2d = 12 ..................... (1)
और अंतिम पद 106 है।
an = 106
या a50 = 106
⇒ a + 49d = 106 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 49d - (a + 2d ) = 106 - 12
a + 49d - a - 2d = 94
47d = 94
d = 2
समीo (1) में d का मान 2 रखने पर
a + 2d = 12
a = 2(2) = 12
a = 12 - 4
a = 8
अब, a29 = a + 28d
⇒ a29 = 8 + 28(2)
⇒ a29 = 8 + 56
⇒ a29 = 64
अत: 29 वाँ पद 64 है |
Q9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य
होगा?
Solution:
a3 = 4
⇒ a + 2d = 4 ..................... (1)
और नौवा पद - 8 है।
a9 = - 8
⇒ a + 8d = - 8 ..................... (2)
समीo (2) में से (1) घटाने पर
a + 8d - (a + 2d ) = - 8 - 4
a + 8d - a - 2d = - 12
6d = - 12
d = - 2
समीo (1) में d का मान 2 रखने पर
a + 2d = 4
a = 2(-2) = 4
a = 4 + 4
a = 8
अत: a = 8, और d = - 2
माना n वाँ पद शून्य है |
an = 0
an = a + (n - 1) d
⇒ 0 = 8 + (n - 1) -2
⇒ - 8 = (n - 1) -2
⇒ n - 1 = 4
⇒ n = 4 + 1 = 5
अत: 5 वाँ पद शून्य है |
Q10. किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Solution:
चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।
∴ a17 - a10 = 7
⇒ a + 16d - (a + 9d) = 7
⇒a + 16d - a - 9d = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
सार्व अंतर = 1
Q11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ......... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
Solution:
a = 3, d = 15 - 3 = 12
a54 = a + 53d
= 3 + 53(12)
= 3 + 636
= 639
वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा
an = a54 + 132
= 639 + 132
= 771
an = a + (n - 1) d
⇒ 771 = 3 + (n - 1) 12
⇒ 771 - 3 = (n - 1) 12
⇒ 768 = (n - 1) 12
⇒ n - 1 = 64
⇒n = 64 + 1 = 65
अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |
Q12. दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
Solution:
माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a
और दुसरे A.P का प्रथम पद = a' है |
और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है
प्रश्नानुसार,
a100 - a'100 = 100
a + 99d - (a' + 99d) = 100
a + 99d - a' - 99d = 100
a - a' = 100 ................ (1)
a1000 - a'1000 = a + 999d - (a' + 999d)
= a + 999d - a' - 999d
= a + a'
चूँकि a + a' = 100 है समीo (1) से
इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |
Q13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
Solution:
तीन अंको की संख्या 100 .................. 999 के बीच होती है |
अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:
105, 112, 119, ........................ 994
इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |
∴ a = 105, d = 7 और an = 994
an = a + (n - 1) d
⇒ 994 = 105 + (n - 1) 7
⇒ 994 - 105 = (n - 1) 7
⇒ 889 = (n - 1) 7
⇒ n - 1 = 127
⇒ n = 127 + 1 = 128
अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |
Q14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
Solution:
10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |
12, 16, 20, ........................ 248
∴ a = 12, d = 4 और an = 248
an = a + (n - 1) d
⇒ 248 = 12 + (n - 1) 4
⇒ 248 - 12 = (n - 1) 4
⇒ 236 = (n - 1) 4
⇒ n - 1 = 59
⇒ n = 59 + 1 = 60
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |
Q15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, .......... और 3, 10, 17, .................. के n वें पद बराबर होंगे?
Solution:
प्रथम A.P: 63, 65, 67, ..........
जिसमें, a = 63, d = 65 - 63 = 2
an = a + (n - 1) d
= 63 + (n - 1) 2
= 63 + 2n - 2
= 61 + 2n .................... (1)
द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ..................
जिसमें , a = 3, d = 10 - 3 = 7
an = a + (n - 1) d
= 3 + (n - 1) 7
= 3 + 7n - 7
= - 4 + 7n .................... (1)
चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से
61 + 2n = - 4 + 7n
61 + 4 = 7n - 2n
5n = 65
n = 65/5
n = 13
अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |
Q16. वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
Solution:
माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,
a3 = 16
� a + 2d = 16 ..................... (1)
a7 - a5 = 12
⇒ a + 6d - (a + 4d) = 12
⇒ a + 6d - a - 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर '
a + 2d = 16
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 - 12
a = 4
a, a + d, a + 2d, a + 3d ..................
⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ...............
अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 ..............................
Q17. A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
दिया गया A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 है |
प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 - 3 = 5
परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,
और सार्व अंतर d = - 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]
a20 = a + 19d
= 253 + 19(-5)
= 253 - 95
= 158
अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |
Q18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
Solution:
a4 + a8 = 24
या a + 3d + a + 7d = 24
या 2a + 10d = 24
या 2(a + 5d) = 24
या a + 5d = 12 ……………………. (1)
इसीप्रकार,
A6 + a10 = 44
या a + 5d + a + 9d = 44
या 2a + 14d = 44
या 2(a + 7d) = 44
या a + 7d = 22 ……………………. (2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 - 12
या a + 7d – a - 5d = 10
या 2d = 10
या d = 5
समीकरण (1) में d = 5 रखने पर
a + 5(5) = 12
या a + 25 = 12
या a = 12 – 25
या a = - 13
अत: A.P के प्रथम 3 पद है :
-13, -13 + 5, -13 + 2(5)
-13, - 8, - 3
Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?
Solution:
दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :
A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000
a = 5000, d = 200, an = 7000
an = a + (n – 1)d
7000 = 5000 + (n – 1)200
7000 – 5000 = (n – 1)200
2000 = (n – 1)200
n - 1 = 20
n = 20 + 1
n = 21 वर्ष
अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |
1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |
Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
Solution:
इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :
A.P: 5, 6.75, 8.50, ..........................., 20.75
A = 5, d = 1.75, an = 20.75
an = a + (n – 1)d
20.75 = 5 + (n – 1)1.75
20.75 – 5 = (n – 1)1.75
15.75 = (n – 1)1.75
n - 1 = 9
n = 9 + 1
n = 10
