ग्राफीय विधि से गति के लिए सूत्र :
कोई वस्तु सीधी रेखा में एकसमान त्वरण से चलती है तो एक निश्चित समयांतराल में समीकरणों के द्वारा उसके वेग, गति के दौरान त्वरण व उसके द्वारा तय की गई दूरी में जो संबंध स्थापित होता है, उस समीकरण को गति का समीकरण कहा जाता है | ये समीकरण तीन हैं -
(i) v = u + at
(ii) s = ut + ½ at2
(iii) 2 as = v2 - u2
गति के समीकरण को प्राप्त करने के लिए वेग-समय ग्राफ -
- इस वेग समय ग्राफ में OE रेखा या BC रेखा वेग को प्रदर्शित करता है जबकि OC रेखा समय को प्रदर्शित करता है |
- BE तिरछी रेखा समयानुसार वेग में परिवर्तन (त्वरण) को प्रदर्शित करता है |
- वेग समय ग्राफ से वस्तु के त्वरण को व्यक्त किया जाता है |
(i) v = u + at के लिए हल :
अब, BC = BD + DC
= BD + OA ............. (i)
यहाँ आरंभिक वेग (u) = OA है और
अंतिम वेग (v) = BC है |
इसलिए, BC = v तथा OA = u रखने पर
BC = BD + OA समी० (i) से
या v = BD + u
या BD = v - u
अत: वेग में परिवर्तन BD = v - u ............ (ii)
लिया गया कुल समय (t) = OC
BD = at ............ (iii)
समीकरण (ii) तथा (iii) से
v - u = at
या v = u + at
(ii) s = ut + ½ at2 के लिए हल :
अब,
माना वस्तु ने एकसमान त्वरण a से t समय लगाकर s दुरी तय की |
वस्तु द्वारा तय की गई दुरी = वेग-समय ग्राफ में AB के नीचे घिरे क्षेत्र OABC का क्षेत्रफल
अत : s = समलंब OABC का क्षेत्रफल
या = आयात OADC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
= OA × OC + ½ (AD × BD)
= u × t + ½ × (t × at) [चूँकि BD = at] समी० (iii) से
= ut + ½ at2
अत: s = ut + ½ at2
(iii) 2 as = v2 - u2 के लिए हल :
अब, उसी प्रकार
वेग समय ग्राफ से -
v - u = at
या
s = समलंब OABC का क्षेत्रफल
= ½ (समांतर भुजाओं का योग') × ऊँचाई
= ½ (OA + BC) × OC
= ½ (u + v) × t समी० (1) से
या 2 a s = v2 - u2