7. Algebra of Complex Numbers
(A) Addition of Complex numbers
Let z1 = a + ib and z2 = c + id be any two complex numbers. Then, the sum z1 + z2 is defined as follows:
z1 + z2 = (a+ib)+(c+id) = (a + c) + i (b + d), which is again a complex number.
Ex: z1 =2 + i3 and z2 = 7 + i5
z1+ z2 = (2+7) +i(3+5)
= 9+i8
Alternative Method:
z1+ z2 = 2+i3 +7+i5
= 2+7+i3+i5
= 9+i(3+5)
= 9+i8
(B) Subtraction of Complex Numbers
Given any two complex numbers z1 and z2, the difference z1 – z2 is defined as follows:
z1 – z2 = (a+ib) – (c+id) = (a–c)+i(b–d)
For example: z1= 4+i3, z2 =3 + i7
z1 – z2 =(4–3)+i(3–7)= 1–i4
Note: {4 and 3are like term and i3 and i7 are another like term}
Alternative Method:
z1 – z2 =(4+i3) – (3+i7)
=4+i3 – 3 – i7
=4– 3+i3 – i7
=1+i(3 – 7)
=1-i4
(C) Multiplication of Complex numbers:
z1 × z2 = (a +ib) (c+id)
=a(c+id) +ib(c+id)
= ac + iad + ibc +( –bd)
= ac –bd +i(ad+bc)
For example: z1= 2+3i, z2=5 +2i
z1× z2 = (2+3i)( 5 +2i)
= (2×5 – 3×2)+ i(2×2+3×5)
= 10 – 6 + i(4+15)
= 4 + 19i
Alternative Method:
z1× z2 = (2+3i)( 5 +2i)
=2( 5 +2i) +3i( 5 +2i)
= 10 + 4i + 15i + 6i2
= 10 + 4i + 15i + 6(–1)
= 10 – 6 + 19i
= 4 + 19i
(D)Some Important identities:
- (z1 + z2)2 = z12 + 2 z1 z2 + z22
- (z1 – z2)2 = z12 – 2 z1 z2 + z22
- (z1 + z2)3 = z13 + 3 z12 z2 + 3 z1z22 + z23
- (z1 – z2)3 = z13 – 3 z12 z2 + 3 z1z22 – z23
- z12 – z22 = (z1 + z2)( z1 – z2)